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== Einleitung ==
== Einleitung ==
Sie haben bestimmt schon gesagt oder gedacht: "Gold ist doch schwerer als Wachs".
Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da eine große Menge Wachs schwerer sein kann als ein kleines Stückchen Gold. Es kommt auch auf die "Menge" an, also auf das Volumen. Richtig ausgedrückt müsste man sagen: "Gold hat eine höhere Dichte als Wachs".


Die Legierungsmaterialkosten berechnet man wie folgt:
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<math>\text{Legierungsmaterialkosten} = \textcolor{red}{Masse}_{\textcolor{red}{\text{Legierung}}} \times \textcolor{green}{\text{Preis}}_{\textcolor{green}{\text{Legierung}}}</math>
</div>
<span style="color:green">Grün</span>: Der Preis in g/cm<sup>3</sup> steht in der Legierungstabelle.
<span style="color:red">Rot</span>: Die Legierungsmasse ist unbekannt.
=== Prozess des Gießens in der Zahntechnik ===
Beim Gießen von Zahnersatz (z.B. Kronen, Brücken, Inlays) wird die Wachsmodellation ausgebrannt und mit einer Legierung befüllt. Das Volumen des Zahnersatzes bleibt aber gleich. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.
--- Gallery Gefräste Wachsmodellation, Angestifte Wachsmodellation, Einbetten, Wachs ausbrennen, Gießen, Ausbetten, abgetrennter Guss
--- Skizze eingebette Wachsbrücke --- Skizze gegossene Wachsbrücke
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<math>Volumen_{\text{Wachsbrücke}} = Volumen_{\text{Legierungsbrücke}}</math>
<math>Masse_{\text{Wachsbrücke}} \neq Masse_{\text{Legierungsbrücke}}</math>
</div>


=== Dichte, das Verhältnis von Masse zu Volumen eines Körpers ===
== Dichte, das Verhältnis von Masse zu Volumen eines Körpers ==


Körper (z.B. Brücken) bestehen aus einem bestimmten Stoff (z.B. Wachs, Gold) welche immer das gleiche Verhältnis zueinander haben. Dieses Verhältnis ist die Dichte:
Körper (z.B. Brücken) können aus unterschiedlichen Stoffen bestehen, welche unterschiedliche Dichten haben. Zum Beispiel hat Aluminium eine Dichte von 2,7 g/cm³, Kupfer von 8,96 g/cm³ und reines Gold eine Dichte von 19,3 g/cm³.


<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
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</div>


Die Dichte von Wachs und Legierungen ergeben folgendes:
Zum Beispiel hat Aluminium eine Dichte von 2,7 g/cm³, Kupfer von 8,96 g/cm³ und reines Gold eine Dichte von 19,3 g/cm³.
 
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<math>Dichte_{\text{Wachs}} \neq Dichte_{\text{Legierung}}</math>
 


<math>\frac{Masse_{\text{Wachs}}}{Volumen_{\text{Wachs}}} \neq \frac{Masse_{\text{Legierung}}}{Volumen_{\text{Legierung}}}</math>
</div>


=== Unterschiedliche Masse bei gleichem Volumen ===
Körper (z.B. Würfel) aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedlichen Dichten) können also trotz gleichem Volumen unterschiedliche Massen haben.


[[File:Dichte_Würfel.png|200px|rechts|mini|Würfel aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedliche Dichten) mit unterschiedlicher Masse aber selben Volumen]]


Wenn die Dichte dreimal so hoch ist, muss die Masse auch dreimal so hoch sein, bei gleichbleibendem Volumen.


<math> \text{Dichte} \uparrow = \frac{\text{Masse} \uparrow}{\text{Volumen}} </math>


==== Berechnung der Legierungsmasse ====
Eine höhere Dichte (Dichte ↑; anstelle Aluminium wird Kupfer verwendet) führt zu einer höheren Masse
[[File:Dichte Wachsmodellation_Dichte_NEM-Legierung.png|200px|rechts|mini|Volumen und Masse der gleichen Krone als Wachsmodellation und gegossen mit einer NEM-Legierung]]
(Masse ↑), bei gleichbleibendem Volumen. Die beiden Seiten der Gleichung müssen ausgeglichen sein.


Da beide Materialien (Wachs und Legierung) den gleichen Raum einnehmen (gleiches Volumen), aber die Legierung eine viel höhere Dichte hat, muss sie viel "schwerer" sein als das Wachs.  
Berechnungsbeispiel:
Wenn Alumiunium (Dichte 2,7 g/cm3) durch Kupfer (Dichte 8,96 g/cm3) ersetzt wird, dann ist das Verhältnis DichteKupfer/DichteAluminium= 8,96 / 2,7  = 3,3 bei gleichbleibendem Volumen. Da beide Seiten der Gleichung ausgeglichen sein müssen, muss die Masse auch 3,3 mal höher sein, bei gleichbleibendem Volumen.




'''Beispiel:''' Angenommen die Dichte von Wachs ist 1 g/cm<sup>3</sup> und die Dichte einer NEM-Legierung ist 8,7 g/cm<sup>3</sup>. Die Dichte der NEM-Legierung ist dann 8,7 mal zu höher als die Dichte der Wachsmodellation. Da das Volumengleich groß ist, muss die Masse auch 8,7 mal höher sein.
=== Die Dichte in der Zahntechnik ===
[[File:Dichte_Wachs_Gold.png|200px|rechts|mini|Das Volumen der Wachskrone ist genauso groß wie das Volumen der Legierungskrone, aber die Massen unterscheiden sich]]
Schauen wir uns nun den Herstellungsprozess einer Brücke an und sehen, ob uns diese Informationen helfen:
Beim Gießen von Zahnersatz (z.B. Kronen, Brücken) wird die Wachsmodellation ausgebrannt und mit einer Legierung befüllt. Das Volumen der Wachsbrücke und der Legierungsbrücke bleibt aber gleich. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.


<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
Wie bei den Würfeln wissen wir jetzt schon: Die Dichte der Legierung muss x-mal so groß sein wie die von Wachs. Obwohl beide Brücken das gleiche Volumen haben, muss die Legierungsbrücke x-mal so viel Masse haben wie die Wachsbrücke.
<math> Masse_{Legierung} = \left( \frac{\rho_{Legierung}}{\rho_{Wachs}} \right) \times m_{Wachs} </math>
</div>


<!--
Bei dem proportionalen Dreisatz kann ''„über Kreuz“'' gerechnet, das heißt, dass der Wert oben rechts mit dem Wert unten links multipliziert und dann durch den Wert oben links dividiert wird (8,7g/cm<sup>3</sup> * 4g / 1g/cm<sup>3</sup> = 17,4g). Das Ergebnis lautet 17,4 g.


<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
{| class="wikitable"
<math> Masse_{Legierungsbrücke} = x \times Masse_{Wachsbrücke} </math>
|+Beispiel mit einer NEM-Legierung
!
!Wachs
!NEM-Legierung
|-
|'''Dichte'''
|1 g/cm<sup>3</sup>
|8,7 g/cm<sup>3</sup>
|-
|'''Masse'''
|4 g
|'''17,4 g'''
|}
</div>
</div>
-->
'''Hinweis:''' Die Legierungsmasse könnte auch direkt über das Volumen der Wachsmodellation bestimmt werden, das Volumen lässt sich allerdings nicht so genau bestimmen und man müsste jedesmal umständlich das Volumen bestimmen anstelle einfach das Gewicht zu bestimmen.


==== Berechnung der Legierungsmaterialkosten ====
Dabei ist x ist das Verhältnis der Dichte der Legierung zur Dichte von Wachs.
Mit bekannter Legierungsmasse können nun die erwarteten Legierungsmaterialkosten berechnen werden:


<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<math>\text{Legierungsmaterialkosten} = Masse_{\text{Legierung}} \times \text{Preis}_{\text{Legierung}}</math>
<math> Masse_{Legierungsbrücke} = \left( \frac{Dichte_{Legierung}}{Dichte_{Wachs}} \right) \times Masse_{Wachsbrücke} </math>
</div>
</div>


mit Legierungsmaterialkosten in €, Masse in g und Preis in €/g.
Die Dichte der Legierung "Vielgoldium" kann der Legierungstabelle entnommen werden.
 
Wenn wir also die Dichte von Wachs und die Masse der Wachsbrücke bestimmen, können wir die Legierungsmasse berechnen.
'''Hinweis:''' Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch wiegen des vom Gusskanal abgetrennten Zahnersatzes. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen.
 
=== Messung der Masse und des Volumens bei Festkörpern ===
Das Volumen von Festkörpern kann bei einfachen Formen  durch die gängigen Formeln berechnet werden, welche Sie im Matheunterricht kennen gelernt haben (z.B. bei Würfeln, Kugeln, Zylindern). Das Volumen von komplizierten Festkörpern (z.B. Brücken) kann man folgendermaßen bestimmen:
 
 
 
==== Messung der Masse ====
Die Masse wird gewogen (s. Zusammensetzung Massenanteil).  


'''Bestimmung der Dichte'''




==== Einfache Messung des Volumens ====
Die Dichte kann durch Einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. Der Wert sollte bei etwa 1 g/cm3 liegen. Die Masse von Wachs können Sie mithilfe einer Waage bestimmen. Das Volumen von Wachs bestimmen Sie mithilfe eines Messzylinders mit Wasser (ml = cm3). Die Dichte der Legierung ist in der Legierungstabelle angegeben.
[[File:Messung_Volumen_einfach.png|200px|rechts|]]
 
Um das Volumen eines Objekts zu bestimmen, kann man es in einen Messzylinder mit Flüssigkeit eintauchen. Man notiert das Anfangsvolumen der Flüssigkeit. Nach dem möglichst blasenfreien Eintauchen des ganzen Objekts misst man das verdrängte Volumen. Die Differenz dieser beiden Messungen gibt das Volumen des Objekts an. Beachten Sie: ml = cm<sup>3</sup>.


<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
Volumen der Wachsmodellation = Wasserstand nach dem Eintauchen - Wasserstand vor dem Eintauchen
<math> Dichte_{\text{Wachs}} = \frac{Masse_{\text{Wachsbrücke}}}{Volumen_{\text{Wachsbrücke}}} </math>
</div>
</div>
<!-- <math> \text{Volumen der Wachsmodellation} = \text{Volumen von Wasser nach dem Eintauchen der Wachsmodellation} - \text{Volumen von Wasser vor dem Eintauchen der Wachsmodellation} </math> -->
Hinweis: Wenn die Dichte des Objekts kleiner ist als die Dichte der Flüssigkeit (für Wasser 1g/cm<sup>3</sup>), dann treibt das Objekt nach oben bzw. "auf", daher kommt der "Auftrieb" in Flüssigkeiten.
<!-- ==== Messung des Volumens durch das archimedische Prinzip ====


to do
'''Berechnung der Legierungsmaterialkosten'''
-->


==== Dichte berechnen ====
Mit bekannter Legierungsmasse können nun die erwarteten Legierungsmaterialkosten berechnet werden:
Die Dichte kann durch einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. Der Wert sollte in der nähe von 1 g/cm<sup>3</sup> liegen.


<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<div style="border:1px solid black; padding:10px; display:inline-block;">
<math> \rho_{\text{Wachs}} = \frac{m_{\text{Wachs}}}{V_{\text{Wachsmodellation}}} </math>
<math>\text{Legierungsmaterialkosten} = Masse_{\text{Legierungbrücke}} \times \text{Preis}_{\text{Legierung}}</math>
</div>
</div>


Anschließend müssen Sie wieder zurück zur Berechnung der Legierungsmasse und dann können Sie die Legierungsmaterialkosten berechnen.
mit Legierungsmaterialkosten in €, Masse in g und Preis in €/g.
 
Hinweis: Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch Wiegen der vom Gusskanal abgetrennten Brücke. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen.
<!--
<gallery>
File:Inlay_making_08_wikipedia.JPG| Wachsmodellation
File:Inlay_making_18_wikipedia.JPG| Gegossene Modellation
File:Dentalgold_Wikipedia.jpeg|Plättchen Edelmetalllegierung
</gallery>
-->
 
<!--
'''Beispiel:'''
 
Eine kleines NEM-Inlay hat ein Gewicht von ca. 1 g und ein Volumen von ca. 0,115 cm<sup>3</sup>.
 
Eine größere NEM-Krone hat ein Gewicht von ca. 4 g und ein Volumen von ca. 0,46 cm<sup>3</sup>.
 
Vervierfacht sich das Gewicht, vervierfacht sich auch das Volumen. Die Dichte der NEM-Legierung und damit das Verhältnis von Masse zu Volumen bleibt immer bei 8,7 g/cm<sup>3</sup> und damit gleich.
 
Das Verhältnis von Masse zu Volumen bei einem Stoff bleibt also gleich. Erhöht sich die Masse, muss sich auch das Volumen erhöhen und umgekehrt. Die Erhöhung des einen Wertes führt zu einer Erhöhung eines anderen Wertes, dies nennt man Proportionalität.
 
 
'''Frage:''' Aber was, wenn wir das Volumen eines Stoffes (Wachsmodellation) mit einem anderen Stoff (Legierung) ausfüllen wollen?
-->
<!--
Formel Legierungsmaterialkosten
 
Legierungsmaterialkosten = Preis in €/g mal Legierungsmasse in g
 
Preis steht in der Legierungstabelle. Legierungsmasse ist unbekannt.
 
Legierungsmasse kann über einen Dreisatz bestimmt werden, wenn die Masse der Wachsmodellation bekannt ist und man die Dichte kennt.  


Die Dichte kann durch Messung der Wachsmodellationmasse und Messung des Wachsmodellationsvolumens bestimmt werden.
'''Sprinterinhalte:'''
 
Hinweis: Es würde auch über das Volumen der Wachsmodellation gehen, das Volumen lässt sich allerdings nicht so genau bestimmen und man müsste jedesmal umständlich das Volumen bestimmen anstelle einfach das Gewicht zu bestimmen.
-->
<!--
Sie haben bestimmt schon gesagt oder gedacht: "Gold ist doch schwerer als Wachs".


Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da eine große Menge Wachs schwerer sein kann als ein kleines Stückchen Gold. Es kommt auch auf die "Menge" an, bzw. auf das Volumen. Richtig ausgedrückt müsste man sagen: "Gold hat eine höhere Dichte als Wachs". Aber warum genau?
Die Würfel stehen zum Versuch zur Verfügung. Probieren Sie es selbst aus.
-->
<!--
Körper (z.B. Kronen) aus einem bestimmten Stoff (z.B. Gold), können eine beliebige Größe (Volumen) oder Masse besitzen, aber die Dichte (das Verhältnis von Masse zu Volumen) eines Stoffes bleibt immer gleich.
-->

Aktuelle Version vom 27. September 2023, 17:32 Uhr

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Einleitung

Sie haben bestimmt schon gesagt oder gedacht: "Gold ist doch schwerer als Wachs". Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da eine große Menge Wachs schwerer sein kann als ein kleines Stückchen Gold. Es kommt auch auf die "Menge" an, also auf das Volumen. Richtig ausgedrückt müsste man sagen: "Gold hat eine höhere Dichte als Wachs".


Dichte, das Verhältnis von Masse zu Volumen eines Körpers

Körper (z.B. Brücken) können aus unterschiedlichen Stoffen bestehen, welche unterschiedliche Dichten haben. Zum Beispiel hat Aluminium eine Dichte von 2,7 g/cm³, Kupfer von 8,96 g/cm³ und reines Gold eine Dichte von 19,3 g/cm³.

Die Dichte ρ (Rho) eines Körpers ist das Verhältnis von Masse zu Volumen:

[math]\displaystyle{ Dichte = \rho = \frac{m}{V} = \frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}} }[/math]

Zum Beispiel hat Aluminium eine Dichte von 2,7 g/cm³, Kupfer von 8,96 g/cm³ und reines Gold eine Dichte von 19,3 g/cm³.


Unterschiedliche Masse bei gleichem Volumen

Körper (z.B. Würfel) aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedlichen Dichten) können also trotz gleichem Volumen unterschiedliche Massen haben.

Würfel aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedliche Dichten) mit unterschiedlicher Masse aber selben Volumen

Wenn die Dichte dreimal so hoch ist, muss die Masse auch dreimal so hoch sein, bei gleichbleibendem Volumen.

[math]\displaystyle{ \text{Dichte} \uparrow = \frac{\text{Masse} \uparrow}{\text{Volumen}} }[/math]

Eine höhere Dichte (Dichte ↑; anstelle Aluminium wird Kupfer verwendet) führt zu einer höheren Masse (Masse ↑), bei gleichbleibendem Volumen. Die beiden Seiten der Gleichung müssen ausgeglichen sein.

Berechnungsbeispiel: Wenn Alumiunium (Dichte 2,7 g/cm3) durch Kupfer (Dichte 8,96 g/cm3) ersetzt wird, dann ist das Verhältnis DichteKupfer/DichteAluminium= 8,96 / 2,7 = 3,3 bei gleichbleibendem Volumen. Da beide Seiten der Gleichung ausgeglichen sein müssen, muss die Masse auch 3,3 mal höher sein, bei gleichbleibendem Volumen.


Die Dichte in der Zahntechnik

Das Volumen der Wachskrone ist genauso groß wie das Volumen der Legierungskrone, aber die Massen unterscheiden sich

Schauen wir uns nun den Herstellungsprozess einer Brücke an und sehen, ob uns diese Informationen helfen: Beim Gießen von Zahnersatz (z.B. Kronen, Brücken) wird die Wachsmodellation ausgebrannt und mit einer Legierung befüllt. Das Volumen der Wachsbrücke und der Legierungsbrücke bleibt aber gleich. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.

Wie bei den Würfeln wissen wir jetzt schon: Die Dichte der Legierung muss x-mal so groß sein wie die von Wachs. Obwohl beide Brücken das gleiche Volumen haben, muss die Legierungsbrücke x-mal so viel Masse haben wie die Wachsbrücke.


[math]\displaystyle{ Masse_{Legierungsbrücke} = x \times Masse_{Wachsbrücke} }[/math]

Dabei ist x ist das Verhältnis der Dichte der Legierung zur Dichte von Wachs.

[math]\displaystyle{ Masse_{Legierungsbrücke} = \left( \frac{Dichte_{Legierung}}{Dichte_{Wachs}} \right) \times Masse_{Wachsbrücke} }[/math]

Die Dichte der Legierung "Vielgoldium" kann der Legierungstabelle entnommen werden. Wenn wir also die Dichte von Wachs und die Masse der Wachsbrücke bestimmen, können wir die Legierungsmasse berechnen.

Bestimmung der Dichte


Die Dichte kann durch Einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden. Der Wert sollte bei etwa 1 g/cm3 liegen. Die Masse von Wachs können Sie mithilfe einer Waage bestimmen. Das Volumen von Wachs bestimmen Sie mithilfe eines Messzylinders mit Wasser (ml = cm3). Die Dichte der Legierung ist in der Legierungstabelle angegeben.

[math]\displaystyle{ Dichte_{\text{Wachs}} = \frac{Masse_{\text{Wachsbrücke}}}{Volumen_{\text{Wachsbrücke}}} }[/math]

Berechnung der Legierungsmaterialkosten

Mit bekannter Legierungsmasse können nun die erwarteten Legierungsmaterialkosten berechnet werden:

[math]\displaystyle{ \text{Legierungsmaterialkosten} = Masse_{\text{Legierungbrücke}} \times \text{Preis}_{\text{Legierung}} }[/math]

mit Legierungsmaterialkosten in €, Masse in g und Preis in €/g. Hinweis: Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch Wiegen der vom Gusskanal abgetrennten Brücke. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen.

Sprinterinhalte:

Die Würfel stehen zum Versuch zur Verfügung. Probieren Sie es selbst aus.

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